Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足條件：對(duì)于n∈N^*，a_n＞0，且a₁=1并有關(guān)系式：a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1），記cn=

1

bn+2bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，易證數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2ⁿ-1，從而可得b_n=n，b_n+2=n+2，于是c_n=

1

2n+n2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），繼而可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 證明：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），又a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為：a_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）∵b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴b_n+2=n+2，
故c_n=

1

2n+n2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=C₁+C₂+C₃+C₄+…+C_n-1+C_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3n2+9n+4

4n2+12n+8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．