Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，試討論它的奇偶性和單調(diào)性；
（3）在（2）的條件下，記f^-1（x）為f（x）的反函數(shù)，若關(guān)于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
所以當(dāng)a＞0時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
當(dāng)a=0時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞）
（2）函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)且僅當(dāng)-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此時(shí)，．
對(duì)于定義域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）內(nèi)任意x，-x∈D，
，所以f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
由于f（x）為奇函數(shù)，所以在（-∞，-5）內(nèi)單調(diào)遞減；
（3），x≠0
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即，令2^x=t，則t＞0且t≠1，得，
又，所以當(dāng)k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．
分析：（1）求函數(shù)的定義域，即真數(shù)大于零，解含參數(shù)的不等式；
（2）利用定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出a的值；然后再看f（x）與 f（-x）的關(guān)系，確定函數(shù)的奇偶性；
（3）求出函數(shù)的反函數(shù)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：考查了分類討論的思想方法，換元的思想方法；函數(shù)奇偶性的判定；特別注意換元后，新變量的取值范圍，屬難題．