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【題目】已知橢圓的離心率為，動直線與橢圓交于點，與軸交于點.為坐標原點，是中點.

（1）若，求的面積；

（2）若試探究是否存在常數，使得是定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1） （2）存在；

【解析】

（1）利用橢圓的幾何性質，求得橢圓的方程，當時，直線的方程為，聯立方程，求得的坐標，結合面積公式，即可求解；

（2）設，，聯立求得，，再利用向量的數量積的運算公式，化簡，得到常數時，得出定值，得到結論.

（1）由題意，橢圓的離心率為，

所以，解得，

所以橢圓的方程為，

當時，直線的方程為，即，

設，，

聯立消去，整理得，解得，，

可得，，

所以的面積為.

（2）設，，則，，

聯立得，

其判別式，所以，，

從而

，

所以當時，，

即為定值，

故存在常數，使得為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于兩點，若，則（ ）

A. B. 8 C. 16 D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，得到甲、乙兩位學生成績的莖葉圖.

（1）現要從中選派一人參加數學競賽，對預賽成績的平均值和方差進行分析，你認為哪位學生的成績更穩(wěn)定？請說明理由；

（2）若將頻率視為概率，求乙同學在一次數學競賽中成績高于84分的概率；

（3）求在甲同學的8次預賽成績中，從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績，列出所有結果，并求抽出的2個成績均大于85分的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年國際籃聯籃球世界杯將于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.為了宣傳國際籃聯籃球世界杯，某大學從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否會收看該國際籃聯籃球世界杯賽事的情況進行了問卷調查，統計數據如下：

會收看

不會收看

男生

60

20

女生

20

20

（1）根據上表說明，能否有99%的把握認為是否會收看該國際籃聯籃球世界杯賽事與性別有關？

（2）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為.

（i）求乙投球的命中率；

（ii）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為，求的分布列和數學期望.

附：，其中，

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優(yōu)惠方案如下表：

購票人數

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（ ）

A.20B.30C.35D.40

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取了100名高中生，根據問卷調查，得到以下數據：

作文成績優(yōu)秀

作文成績一般

總計

課外閱讀量較大

35

20

55

課外閱讀量一般

15

30

45

總計

50

50

100

（1）根據列聯表，能否有99.5%的把握認為課外閱讀量的大小與作文成績優(yōu)秀有關；

（2）若用分層抽樣的方式從課外閱讀量一般的高中生中選取了6名高中生，再從這6名高中生中隨機選取2名進行面談，求面談的高中生中至少有1名作文成績優(yōu)秀的概率．

附：，其中．

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）當為何值時，軸為曲線的切線；

（2）用表示、中的最大值，設函數，當時，討論零點的個數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在底面為菱形的四棱柱中，平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解高中學生對數學課是否喜愛是否和性別有關，隨機調查220名高中學生，將他們的意見進行了統計，得到如下的列聯表.

喜愛數學課

不喜愛數學課

合計

男生

90

20

110

女生

70

40

110

合計

160

60

220

（1）根據上面的列聯表判斷，能否有的把握認為“喜愛數學課與性別”有關；

（2）為培養(yǎng)學習興趣，從不喜愛數學課的學生中進行進一步了解，從上述調查的不喜愛數學課的人員中按分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽出2名進行電話回訪，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.

參考公式：.

P（）

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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