Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=a（a∈N^*），S_n=ka_n+1（n∈N^*，k∈R），且常數(shù)k滿足0＜|k|＜1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對于每一個正整數(shù)m，若將數(shù)列中的三項a_m+1，a_m+2，a_m+3按從小到大的順序調整后，均可構成等差數(shù)列，且記公差為d_m，試求k的值及相應d_m的表達式（用含m的式子表示）；
（3）記數(shù)列{d_m}（這里d_m是（2）中的d_m）的前m項和為T_m=d₁+d₂+…+d_m．問是否存在a，使得T_m＜90對m∈N^*恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=ka_n+1，得S_n-1=ka_n-1+1，從而ka_n-1=（k-1）a_n，n≥2，又a₁=a，由此能求出a_n=a（

k

k-1

）^n-1．
（2）由（1）知公比q=

k

k-1

，常數(shù)k滿足0＜|k|＜1，由此進行分類討論，能求出k的值及相應d_m的表達式．（3）①d_m=a[（-2）^m+2-（-2）^m]，m為偶數(shù)，T_m=d₁+d₂+d₃+…+d_m=a（2^m+2+2^m-6）＜90不可能成立．②d_m=a[（-

1

2

）^m-（-

1

2

）^m+2]，m為偶數(shù)．T_m=d₁+d₂+d₃+…+d_m=a[

3

4

-(

1

2

)m+1-(

1

2

)m+2]，此時能求出a的最大值．

解答： 解：（1）由S_n=ka_n+1，①
得S_n-1=ka_n-1+1，②
②-①，得：ka_n-1=（k-1）a_n，n≥2，
又a₁=a，
∴{a_n}是首項為a，公比為

k

k-1

的等比數(shù)列，
∴a_n=a（

k

k-1

）^n-1．
（2）由（1）知公比q=

k

k-1

，常數(shù)k滿足0＜|k|＜1，
第一種情況：-1＜k＜0，此時0＜q＜

1

2

，
則a_m+1，a_m+2，a_m+3按從小到大的順序調整后為a_m+3，a_m+2，a_m+1，
2a_m+2=a_m+3+a_m+1，
將a_m的通項代入化簡，得q^m（q²-2q+1）=0，
解得q=0（舍），或q=1，若滿足則0=-1，故舍去；
第二種情況：0＜k＜1，此時-∞＜q＜0，
若q＜-1，則

1

2

＜k＜1，
當m為奇數(shù)時，則a_m+1，a_m+2，a_m+3按從小到大的順序調整后為a_m+3，a_m+1，a_m+2，
2a_m+1=a_m+3+a_m+2，
化簡，得q=1（舍），或q=-2，此時k=

2

3

；
當m為偶數(shù)時，則a_m+1，a_m+2，a_m+3按從小到大的順序調整后為a_m+2，a_m+1，a_m+3，
2a_m+1=a_m+3+a_m+2，滿足k=

2

3

，
則d_m=a[（-2）^m+2-（-2）^m]，m為偶數(shù)．
第三種情況，0＜k＜

1

2

，此時-1＜q＜0，
當m為奇數(shù)時，則a_m+1，a_m+2，a_m+3按從小到大的順序調整后為a_m+1，a_m+3，a_m+2，
2a_m+3=a_m+1+a_m+2，
化簡，得q=1（舍）或q=-

1

2

，此時k=

1

3

，
當m為偶數(shù)時，則a_m+1，a_m+2，a_m+3按從小到大的順序調整后為a_m+2，a_m+3，a_m+1，
2a_m+3=a_m+2+a_m+1，滿足k=

1

3

，
∴d_m=a[（-

1

2

）^m-（-

1

2

）^m+2]，m為偶數(shù)．
（3）①d_m=a[（-2）^m+2-（-2）^m]，m為偶數(shù)，
T_m=d₁+d₂+d₃+…+d_m
=a（2^m+2+2^m-6）＜90不可能成立．
②d_m=a[（-

1

2

）^m-（-

1

2

）^m+2]，m為偶數(shù)．
T_m=d₁+d₂+d₃+…+d_m
=a[

3

4

-(

1

2

)m+1-(

1

2

)m+2]，
當m=1時，T_m有最大值，
當T_m＜90時，
則滿足a＜240，
∴a的最大值為239．

點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，對數(shù)學的思維能力要求較高，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．