Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)(0，

2

)且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，是否存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意的離心率為

3

2

，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，建立方程，求得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線與橢圓方程聯(lián)立，求出向量

OP

+

OQ

與

AB

的坐標(biāo)，利用向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直，及判別式即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得2a=4，

c

a

=

3

2

∴a=2，c=

3

∴b=1，∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2+4y2=4

消去y，可得：(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0△=128k2-16(1+4k2)＞0⇒|k|＞

1

2

．               …（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)M(

x

0

，y0)
則x1+x2=-

8 2 k

1+4k2

，x1•x2=

4

1+4k2

∴x0=

x1+x2

2

=-

4 2 k

1+4k2

，y0=

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+

2

=

2

1+4k2

所以

OP

+

OQ

=2

OM

=2(-

4 2 k

1+4k2

，

2

1+4k2

)
又A（2，0），B（0，1），∴

AB

=（-2，1），
∵

OP

+

OQ

與

AB

垂直，∴可得

OM

•

AB

=0
∴8

2

k+

2

=0
∴k=-

1

8

這與|k|＞

1

2

矛盾，故不存在．                                  …（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義和離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，存在性等，以及分析推理運(yùn)算能力．