Question

19．已知{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）令b_n=a_n3ⁿ，求{b_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=2n，可知b_n=2n•3ⁿ，利用錯(cuò)位相減法可求出1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ的值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則a₁+a₂+a₃=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=3a₁+3d=12，
又∵a₁=2，∴d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）∵a_n=2n，∴b_n=a_n3ⁿ=2n•3ⁿ，
記c_n=n•3ⁿ，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為Q_n，
則Q_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，
∴3Q_n=1•3²+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2Q_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴Q_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為2Q_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．