Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）當(dāng)EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°        
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120
∴∠ACB=90，∴AC⊥BC
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交線為AC，∴BC⊥平面ACFE．


 
（Ⅱ）當(dāng)EM=

3

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a時，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2．
∵EM=

3

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a而    EF=AC=

3

a，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形．∴AM∥NF．
又NF?平面BDF，AM?平面BDF．∴AM∥平面BDF．