Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，若正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)是2，則F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線(xiàn)段長(zhǎng)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)平面AD₁E與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)．分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A₁MN∥平面D₁AE，從而得到A₁F是平面A₁MN內(nèi)的直線(xiàn)．由此得到F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線(xiàn)段是線(xiàn)段MN．

解答： 解：設(shè)平面AD₁E與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)
分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線(xiàn)
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，
∴直線(xiàn)A₁F?平面A₁MN，
∴F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線(xiàn)段是線(xiàn)段MN．
∴F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線(xiàn)段長(zhǎng)MN=

2

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故答案為：

2

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點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體中側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)動(dòng)點(diǎn)F滿(mǎn)足A₁F∥平面D₁AE，求F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線(xiàn)段長(zhǎng)，著重考查了正方體的性質(zhì)，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．