Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足對(duì)?x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，則0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）即可判斷．

解答： 解：f（x）在R上是減函數(shù)，理由如下：
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由于x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
則0＜f（x₂-x₁）＜1，
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）．
故f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性及證明，注意定義的運(yùn)用，屬于中檔題