Question

【題目】關(guān)于函數(shù)，給出以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是_______.

①時(shí)，單調(diào)遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；

④是偶函數(shù)且有最小值.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①將函數(shù)表示為分段函數(shù)，結(jié)合分式型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；②由函數(shù)是偶函數(shù)，在且時(shí)，判定函數(shù)與函數(shù)在時(shí)有唯一交點(diǎn)，同理得出，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在時(shí)有交點(diǎn)，從而可得方程有解；③求方程的解，即可判斷出命題③的正誤；④利用偶函數(shù)的定義判定函數(shù)為偶函數(shù)，再利用絕對(duì)值的性質(zhì)得出且，即可判斷出命題④的正誤.

對(duì)于命題①，當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不單調(diào)且沒有最值，命題①錯(cuò)誤；

對(duì)于命題②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

即當(dāng)時(shí)，方程在上有解.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則函數(shù)為偶函數(shù)，

同理可知，當(dāng)時(shí)，方程在上有解.

所以，命題②正確；

對(duì)于命題③，當(dāng)時(shí)，令，解得，則命題③錯(cuò)誤；

對(duì)于命題④，由②可知，函數(shù)是偶函數(shù)，由絕對(duì)值的性質(zhì)可知且，則函數(shù)為偶函數(shù)且最小值為，命題④正確.

因此，正確命題的序號(hào)為②④.

故答案為：②④.