【題目】關(guān)于函數(shù)，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.

①時，單調(diào)遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；

④是偶函數(shù)且有最小值.

【答案】②④

【解析】

①將函數(shù)表示為分段函數(shù)，結(jié)合分式型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；②由函數(shù)是偶函數(shù)，在且時，判定函數(shù)與函數(shù)在時有唯一交點(diǎn)，同理得出，當(dāng)且時，函數(shù)與函數(shù)在時有交點(diǎn)，從而可得方程有解；③求方程的解，即可判斷出命題③的正誤；④利用偶函數(shù)的定義判定函數(shù)為偶函數(shù)，再利用絕對值的性質(zhì)得出且，即可判斷出命題④的正誤.

對于命題①，當(dāng)時，.

當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，，當(dāng)時，，

當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)時，函數(shù)不單調(diào)且沒有最值，命題①錯誤；

對于命題②，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，

即當(dāng)時，方程在上有解.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，則函數(shù)為偶函數(shù)，

同理可知，當(dāng)時，方程在上有解.

所以，命題②正確；

對于命題③，當(dāng)時，令，解得，則命題③錯誤；

對于命題④，由②可知，函數(shù)是偶函數(shù)，由絕對值的性質(zhì)可知且，則函數(shù)為偶函數(shù)且最小值為，命題④正確.

因此，正確命題的序號為②④.

故答案為：②④.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若AD為BC邊上的中線，cos B＝，AD＝，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)；

（2）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，證明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）對一切成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)與在給定的區(qū)間上滿足恒成立，則稱這兩個函數(shù)在該區(qū)間上“和諧”。

（1）若函數(shù)與在R上和諧，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)與在上和諧，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合，集合，集合．

（1）用列舉法表示集合C；

（2）設(shè)集合C的含n個元素所有子集為，記有限集合M的所有元素和為，求的值；

（3）已知集合P、Q是集合C的兩個不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合對的個數(shù)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)，并作為計算圓的周長，面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ)，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值，這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時，某同學(xué)利用計算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，計算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過該實(shí)驗(yàn)計算出來的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點(diǎn)（ ）

A.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變

B.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標(biāo)不變

C.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變

D.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標(biāo)不變

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓： 的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與直線垂直，垂足為點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程；

（II）如圖，若直線： 與橢圓交于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．

【答案】（I）；（II）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可得， 故斜率為，由直線與直線垂直，可得，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

代入直線得，連立方程即可得， ；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)， ， ，∴ ，得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，

點(diǎn)到直線的距離為，利用弦長公式得EF，則平行四邊形的面積為

.

解析：（1）由題意知，橢圓的左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，直線的斜率，

得，

因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

由點(diǎn)在直線上，∴，且，

解得， ，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)， ， ，

將代入消去并整理得 ，

則， ，

，

∵四邊形為平行四邊形，∴ ，

得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，

點(diǎn)到直線的距離為， ，

∴平行四邊形的面積為

.

故平行四邊形的面積為定值.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，求證：函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)， ，且.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距與短軸長相等,長軸長為,設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交橢圓M于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓M的方程；

(2)求證:

(3)設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C、D,求四邊形ABCD面積的最小值.

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