Question

如圖，已知拋物線x²=4y，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A（x₁，y₁）（不同于頂點(diǎn)）作拋物線的切線l，并交x軸于點(diǎn)C，在直線y=-1上任取一點(diǎn)H，過(guò)H作HD垂直x軸于點(diǎn)D，并交l于點(diǎn)E，過(guò)H作直線HT垂直于直線l，并交x軸于點(diǎn)T．
（1）求證：|OC|=|DT|；
（2）試判斷直線ET與拋物線的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由y=

x2

4

，得y′=

x

2

，從而得到l：y=

x1

2

(x-x1)+

x12

4

=

x1

2

x-

x12

4

，由此能證明|OC|=|DT|=|

x1

2

|．
（2）由已知得EF：y=（a-

x1

2

）x-（a-

x1

2

）²，由

x2=4y y=(a- x1 2 )x-(a- x1 2 )2

，得x2-4(a-

x1

2

)x+4(a-

x1

2

)2=0，由此利用根的判別式得直線ET與拋物線相切．

解答： （1）證明：∵y=

x2

4

，∴y′=

x

2

，
∴k_l=y′|x=x1=

x1

2

，
∴l(xiāng)：y=

x1

2

(x-x1)+

x12

4

=

x1

2

x-

x12

4

，
∴C（

x1

2

，0），
設(shè)H（a，-1），∴D（a，0），
∴TH：y=-

2

x1

(x-a)-1，∴T（a-

x1

2

，0），
∴|OC|=|DT|=|

x1

2

|．
（2）解：直線ET與拋物線相切，理由如下：
∵E（a，

x1a

2

-

x12

4

），T（a-

x1

2

，0），
∴k_EF=

x1a 2 - x12 4

x1 2

=a-

x1

2

，
∴EF：y=（a-

x1

2

）x-（a-

x1

2

）²，
由

x2=4y y=(a- x1 2 )x-(a- x1 2 )2

，得x2-4(a-

x1

2

)x+4(a-

x1

2

)2=0，
△=16(a-

x1

2

)2-16(a-

x1

2

)2=0，
∴直線ET與拋物線相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)相等的證明，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．