Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），若函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f（1）=2，則f（2011）等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

Answer 1

【答案】分析：先由函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）=f（x）+2f（2），可得函數(shù)周期為4；就把f（2011）轉(zhuǎn)化為f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．
解答：解：因為函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故有f（-x）=f（x）．
∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）⇒f（-2）+f（2）=0⇒2f（2）=0⇒f（2）=0
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x）．即函數(shù)周期為4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故選A．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性等，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．