Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，，，面面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得面，并說明理由；

（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，可證，四邊形為平行四邊形.

則，又平面，平面，所以，平面.故在棱上存在點(diǎn)，使得面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（2）可證面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)及相應(yīng)向量的坐標(biāo)可求直線與平面所成的角.

（1）在棱上存在點(diǎn)，使得面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

理由如下：

取的中點(diǎn)，連結(jié)、，

由題意，且，且，

故且.

所以，四邊形為平行四邊形.

所以，，又平面，平面，

所以，平面.

（2）由題意知為正三角形，所以，亦即，

又，

所以，且面面，面面，

所以面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，

設(shè)，則由題意知，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則由得，

令，則，，

所以取，

顯然可取平面的法向量，

由題意： ，所以.

由于面，所以在平面內(nèi)的射影為，

所以為直線與平面所成的角，

易知在中，從而，

所以直線與平面所成的角為.