Question

【題目】如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，過(guò)任作一個(gè)平面分別與直線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是___________．①對(duì)于任意的平面，都有直線，，相交于同一點(diǎn)；②存在一個(gè)平面，使得點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上； ③對(duì)于任意的平面，都有；④對(duì)于任意的平面，當(dāng)在線段上時(shí)，幾何體的體積是一個(gè)定值.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

當(dāng)分別為中點(diǎn)時(shí)，可知三線互相平行，排除①；若三線相交，交點(diǎn)必在上，可排除②；取中點(diǎn)，利用線面平行判定定理可證得平面，平面，再結(jié)合為中點(diǎn)可得到平面的距離相等，進(jìn)一步得到到直線的距離相等，從而證得面積相等，③正確；首先通過(guò)臨界狀態(tài)與重合，與重合時(shí)，求得所求體積為四面體體積一半；當(dāng)不位于臨界狀態(tài)時(shí)，根據(jù)③的結(jié)論可證得，從而可知所求體積為四面體體積一半，進(jìn)而可知為定值，④正確.

當(dāng)分別為中點(diǎn)時(shí)，，則①錯(cuò)誤

若三線相交，則交點(diǎn)

不存在在線段上，在線段延長(zhǎng)線上的情況，則②錯(cuò)誤

取中點(diǎn)，如圖所示：

分別為中點(diǎn)

又平面，平面 平面

同理可得：平面

到平面的距離相等；到平面的距離相等

又為中點(diǎn) 到平面的距離相等

到平面的距離相等

連接交于，則為中點(diǎn) 到距離相等

，則③正確

當(dāng)與重合，與重合時(shí)，此時(shí)幾何體體積為三棱錐的體積

為中點(diǎn) 三棱錐的體積為四面體體積的一半

當(dāng)如圖所示時(shí)，由③可知

又為中點(diǎn) 到截面的距離相等

綜上所述，幾何體的體積為四面體體積的一半，為定值，則④正確

本題正確結(jié)果：③④