Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F，以F為圓心的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相切于 A、B兩點，且|AB|=$\sqrt{3}$b，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出A的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），根據(jù)以F為圓心的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相切于A、B兩點，由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，A的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∵以F為圓心的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相切于A、B兩點，
∴由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．