Question

15．已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸為正半軸，曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{1}{1-cosθ}$．
（Ⅰ）在曲線C₁上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l的距離最大；
（Ⅱ）過極點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線分別交曲線C₂于A，B和C，D四點(diǎn)，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)P$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．
（II）設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+π），C$（{ρ}_{3}，θ+\frac{π}{2}）$，D$（{ρ}_{4}，θ+\frac{3π}{2}）$．（θ∈（0，π））．代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
設(shè)P$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．
當(dāng)$sin（θ+\frac{π}{3}）$=-1，θ=$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cos\frac{7π}{6}}\\{y=sin\frac{7π}{6}}\end{array}\right.$，即P$（-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$．
（II）設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+π），C$（{ρ}_{3}，θ+\frac{π}{2}）$，D$（{ρ}_{4}，θ+\frac{3π}{2}）$．（θ∈（0，π））．
∴ρ₁=$\frac{1}{1-cosθ}$，ρ₂=$\frac{1}{1-cos（θ+π）}$=$\frac{1}{1+cosθ}$，ρ₃=$\frac{1}{1-cos（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{1}{1+sinθ}$，ρ₄=$\frac{1}{1-cos（θ+\frac{3π}{2}）}$=$\frac{1}{1-sinθ}$．
∴|AB|+|CD|=ρ₁+ρ₂+ρ₃+ρ₄=$\frac{1}{1-cosθ}$+$\frac{1}{1+cosθ}$+$\frac{1}{1+sinθ}$+$\frac{1}{1-sinθ}$
=$\frac{2}{1-co{s}^{2}θ}$+$\frac{2}{1-si{n}^{2}θ}$
=$\frac{2}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{2}{co{s}^{2}θ}$
=$\frac{8}{si{n}^{2}2θ}$≥8．
當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，|AB|+|CD|取得最小值8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．