Question

20．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$（a＞0），若對任意兩個不等的正實數(shù)x₁，x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$≥2恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （0，1]
• D． （0，1）

Answer 1

分析 依題意知，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x≥2（x＞0）恒成立?a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，利用二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與最值，可求得g（x）_max，于是可得a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²（a＞0），對任意兩個不等的正實數(shù)x₁、x₂都有＞2恒成立，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+x≥2（x＞0）恒成立，
∴a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
則a≥g（x）_max，
∵g（x）=2x-x²為開口方向向下，對稱軸為x=1的拋物線，
∴當x=1時，g（x）=2x-x²取得最大值g（1）=1，
∴a≥1．
即a的取值范圍是[1，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導數(shù)的幾何意義與二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想．