Question

如圖，ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且AD=PD=2EC，
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）取PD中點Q，連接AQ，
∵EC∥PD，EC=PD，∴EC∥DQ且EC=DQ，
由此可得四邊形DCEQ為平行四邊形，
所以EQ∥DC，EQ=DC，
∵ABCD為正方形，∴EQ∥AB，EQ=AB，
∴四邊形BEQA為平行四邊形，得AQ∥BE，
又∵AQ?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；
（2）延長PE交DC于點K，連接BK，則平面PBE與平面ABCD的交線為BK，
∵PD⊥平面ABCD，BK?平面ABCD，∴PD⊥BK
又∵EC∥PD，EC=PD，∴E為PK中點，C為DK中點，
連接AC，得正方形ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵平行四邊形ACKB中，AC∥BK，AC=BK　
∴BD=BK，且BD⊥BK，
∵PD∩BD=D，∴BK⊥平面PDB，可得PB⊥BK，
由此可得∠PBD為所求二面角的平面角，
Rt△PBD中，PB====AD
∴cos∠PBD===，
所以平面PBE與平面ABCD所成的二面角的余弦為．
分析：（1）取PD中點Q，連接AQ，由三角形中位線定理證出EC∥DQ且EC=DQ，得四邊形DCEQ為平行四邊形，進而證出EQ∥AB且EQ=AB，從而得到BEQA為平行四邊形，得AQ∥BE，結(jié)合線面平行的判定定理，得到BE∥平面PAD；
（2）延長PE交DC于點K，連接BK，則平面PBE與平面ABCD的交線為BK，根據(jù)正方形的性質(zhì)和線面垂直的判定，得BK⊥平面PDB，由此可得∠PBD為平面PBE與平面ABCD所成的二面角的平面角，Rt△PBD中，利用余弦的定義得cos∠PBD=，即可得到平面PBE與平面ABCD所成的二面角的余弦為．
點評：本題給出正四棱錐，求證線面平行并求側(cè)面與底面的二面角的余弦值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的求法等知識，屬于中檔題．