Question

已知a∈R，函數(shù)f （x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2ax （x∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f （x）能否在R上單調(diào)遞減，若是，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由；
（Ⅲ）若函數(shù)f （x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x，
∴f'（x）=-x²+x+2，（2分）
令f'（x）＞0，即-x²+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則f'（x）≤0對x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0對x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0對x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴當-8≤a≤0時，函數(shù)f（x）能在R上單調(diào)遞減；（10分）
（Ⅲ）∵函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0對x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2對x∈[-1，1]都成立，即a≥

x2

x+2

對x∈[-1，1]都成立．（12分）
令g（x）=

x2

x+2

，則g'（x）=

2x(x+2)-x2

(x+2)2

=

x(x+4)

(x+2)2

．
當-1≤x＜0時，g'（x）＜0；當0≤x＜1時，g'（x）＞0．
∴g（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增．
∵g（-1）=1，g（1）=

1

3

，∴g（x）在[-1，1]上的最大值是g（-1）=1，∴a≥1．（15分）