Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的天宮一號點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-7）x+18的兩個(gè)天宮一號點(diǎn)分別是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域是[t，t+1]（t＞0）時(shí)，f（x）的最大值為G（t），最小值為g（t），求H（t）=G（t）-g（t）的表示式．

Answer 1

分析：（1）直接利用定義把條件轉(zhuǎn)化為f（-3）=-3，f（2）=2聯(lián)立即可求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)函數(shù)的對稱軸，確定f（x）在[t，t+1]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，從而可求f（x）的最大值為G（t），最小值為g（t），進(jìn)而可求H（t）=G（t）-g（t）的表示式

解答：解：（1）依題意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b+18=-3，4a+2b-14+18=2，
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x²-2x+18
（2）∵f（x）對稱軸為 x=-

1

3

＜0
∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，
G(t)=f(x)max=f(t)=-3t2-2t+18
g(t)=f(x)min=f(t+1)=-3t2-8t+13
∴H（t）=G（t）-g（t）=6t+5

點(diǎn)評：本題以新定義為載體，考查函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般根據(jù)是開口向上的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越小，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大；開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越大，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小