Question

9．已知x²+y²+4z²=1，則x+y+4z的最大值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 首先分析題目已知x²+y²+4z²=1，求x+y+4z的最大值，可以聯(lián)想到柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²的應(yīng)用，構(gòu)造出柯西不等式即可得到答案．

解答 解：由已知x，y，z∈R，x²+y²+4z²=1，和柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²
則構(gòu)造出（1²+1²+2²）[x²+y²+（2z）²]≥（x+y+4z）²．
即：（x+y+4z）²≤6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)．
即：x+y+4z的最大值為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查柯西不等式的應(yīng)用問題，對(duì)于不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²應(yīng)用廣泛，需要同學(xué)們理解記憶．