Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖，令a_n=f（

nπ

6

），則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,數(shù)列的求和

專題：算法和程序框圖

分析：先根據(jù)圖象確定ω，φ的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式，然后分別寫出數(shù)列a_n的各項，注意到各項的取值周期為6，從而可求a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄的值．

解答： 解：由圖象可知，

1

4

T=

5π

12

-

π

6

，解得T=π，故有ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
函數(shù)的圖象過點（

π

6

，1）故有1=sin（2×

π

6

+φ），|φ|＜

π

2

，故可解得φ=

π

6

，從而有f（x）=sin（2x+

π

6

）．
a₁=sin（2×

π

6

+

π

6

）=1
a₂=sin（2×

2π

6

+

π

6

）=

1

2

a₃=sin（2×

3π

6

+

π

6

）=-

1

2

a₄=sin（2×

4π

6

+

π

6

）=-1
a₅=sin（2×

5π

6

+

π

6

）=-

1

2

a₆=sin（2×

6π

6

+

π

6

）=

1

2

a₇=sin（2×

7π

6

+

π

6

）=1
a₈=sin（2×

8π

6

+

π

6

）=

1

2

…
觀察規(guī)律可知a_n的取值以6為周期，且有一個周期內(nèi)的和為0，且2014=6×335+4，
所以有：a₂₀₁₄=sin（2×

2014π

6

+

π

6

）=-1．
則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=1+

1

2

-

1

2

+1=0．
故答案為：0．

點評：本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式和數(shù)列的求和，其中找出各項的取值規(guī)律是關鍵，屬于中檔題．