Question

18．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3，$\sqrt{3}$）．
（1）求tanα的值；
（2）定義行列式運(yùn)算$|\begin{array}{l}{a}&\\{c}&d53xbf5\end{array}|$=ad-bc，求行列式$|\begin{array}{l}{sinα}&{tanα}\\{1}&{cosα}\end{array}|$的值；
（3）若函數(shù)f（x）=$|\begin{array}{l}{cos（x+α）}&{-sinα}\\{sin（x+α）}&{cosα}\end{array}|$（x∈R），求函數(shù)y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）+2f²（x）的最大值，并指出取到最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數(shù)的定義，即可求出sinα，cosα，tanα的值．
（2）化簡行列式利用（1）的結(jié)論即可求解．
（3）先利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用求得f（x），y，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3，$\sqrt{3}$），
∴OP=$\sqrt{（-3）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$|\begin{array}{l}{sinα}&{tanα}\\{1}&{cosα}\end{array}|$=sinαcosα-tanα=$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（3）∵f（x）=$|\begin{array}{l}{cos（x+α）}&{-sinα}\\{sin（x+α）}&{cosα}\end{array}|$=cos（x+α）cosα+sinαsin（x+α）=cosxcos²α-sinxsinαcosα+sinxsinαcosα+cosxsin²α=cosx，
∴y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）+2f²（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，即x=k$π+\frac{π}{6}$時(shí)，y_max=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的性質(zhì)，行列式的定義的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．