Question

如圖已知：菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面;

（2）點(diǎn)在直線上，且//平面，求平面與平面所成角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先證，由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，所以，由勾股定理證，所以由線面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，再寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，由共面向量定理，得，所以求出，得出點(diǎn)的坐標(biāo)是:，由（1）得平面的法向量是，根據(jù)條件得平面的法向量是，所以.

試題解析：（1）證明：在菱形中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000580380734892/SYS201309200058564416481123_DA.files/image020.png">，所以是等邊三角形，

又是線段的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000580380734892/SYS201309200058564416481123_DA.files/image019.png">平面，所以平面，所以；  2分

在直角梯形中，，，得到：，

從而，所以，        4分

所以平面，又平面，所以平面平面；   6分

（2）由（1）平面，如圖，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

   7分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則共面，

所以存在實(shí)數(shù)使得：

，

得到:.即點(diǎn)的坐標(biāo)是:,    8分

由（1）知道：平面的法向量是，

設(shè)平面的法向量是，

則：，         9分

令，則，即，

所以，                  11分

即平面與平面所成角的余弦值是.             12分

考點(diǎn)：1.面面垂直的判定定理；2.線面平行的判定定理；3.面面垂直的判定定理；4.向量法.