Question

己知f（x）=x²+alnx的圖象上任意不同兩點連線的斜率大于2，那么實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知得到2x+

a

x

≥2，變形后分離參數(shù)a，然后利用配方法求最值，從而得到a的范圍．

解答： 解：由f（x）=x²+alnx，得f′(x)=2x+

a

x

（x＞0），
∵f（x）=x²+alnx的圖象上任意不同兩點連線的斜率大于2，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，2x+

a

x

≥2，
2x²-2x+a≥0，
∴a≥-2(x-

1

2

)2+

1

2

．
∵-2(x-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

才能滿足任意兩點不同兩點連線的斜率大于2，
∴實數(shù)a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．
故答案為：[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍問題，是中檔題．