Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)為 (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn) ①證明：當(dāng)直線與直線的斜率，均存在時(shí)，.為定值；②求面積的最小值。

Answer 1

【答案】(1)(2) ①見(jiàn)解析②

【解析】

(1)根據(jù)條件列關(guān)于a,b,c的方程組解得a,b，即得結(jié)果，(2) ①先設(shè)直線方程：，再根據(jù)直線與橢圓相切得關(guān)系，并解得P點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)斜率公式計(jì)算.為定值，②先確定三角形為直角三角形，再利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算PQ,根據(jù)面積公式得函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值.

解：（1）由題意得，

所以橢圓方程為

（2）①證明：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，

聯(lián)立直線與橢圓可得

因?yàn)橹本�與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即，

由韋達(dá)定理得，

又因?yàn)?/span>過(guò)右焦點(diǎn)，則

而，所以.

②因?yàn)镕(2,0),所以，，所以，即,

所以三角形的面積,，

因?yàn)?/span>，所以方程為，設(shè)

與橢圓方程聯(lián)立得，

則，，，

所以

令，則，令，因此當(dāng)時(shí)，面積取最小值.