Question

【題目】已知A、B、C、D是函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，A（﹣ ， 0），B為y軸的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，在x軸方向上的投影為 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移得到函數(shù)g（x）的圖象，已知g（α）= ， α∈（﹣ ， 0），求g（α+）的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵如圖所示，A（﹣，0），B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，在x軸上的投影為，
∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出：最大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴=+，T=π，
∵T=，
∴ω=2，
∵A（﹣，0）在函數(shù)圖象上，
∴sin（﹣+φ）=0，解得：﹣+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，
∴φ=，故可得函數(shù)f（x）的解析式為：y=sin（2x+）．
∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）∵由題意可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x．
∴g（α）=cos2α=，
∵α∈（﹣，0），
∴2α∈（﹣，0），可得sin2α=﹣，
∴g（α+）=cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=x﹣（﹣）×=．
【解析】（1）根據(jù)函數(shù)想性質(zhì)得出最大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ， A（﹣ ， 0），得出周期T=π，T= ， 即可ω，運(yùn)用A（﹣ ， 0），sin（﹣+φ）=0，得出φ=kπ+ ， k∈z，即可求解函數(shù)解析式，由2kπ+≤2x+≤2kπ+ ， k∈Z即可解得單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），結(jié)合角的范圍可求cos2α，sin2α，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可求值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握?qǐng)D象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象才能正確解答此題．