2．曲線y=x（3lnx+1）在點（1，1）處的切線與直線x=0和y=x圍成的三角形的面積為$\frac{3}{2}$．

分析 根據(jù)求導公式求出函數(shù)的導數(shù)，把x=1代入求出切線的斜率，代入點斜式方程并化簡，分別令x=0和y=x求出切線與它們的交點坐標，再代入面積公式求解．

解答 解：∵y=x（3lnx+1），
∴y′=3lnx+4，
∴曲線在點（1，1）處的切線斜率k=4，
∴切線方程為：y-1=4（x-1），
即y=4x-3，
令x=0得，y=-3；令y=x得，x=1，
∴在點（1，1）處的切線與直線x=0和y=x
圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計算能力，求出切線方程是關鍵．

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