Question

【題目】動(dòng)圓與圓相外切且與軸相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡記，

（1）求軌跡的方程；

（2）定點(diǎn)到軌跡（1）上任意一點(diǎn)的距離的最小值;

（3）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，試分析直線(xiàn)與軌跡的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并指明相應(yīng)的直線(xiàn)的斜率是否存在，若存在求的取值或取值范圍情況.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）時(shí)，的最小值為；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)，利用動(dòng)圓與軸相切且與圓外切建立方程，化簡(jiǎn)得答案；（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合配方法求得定點(diǎn)到軌跡上任意一點(diǎn)的距離的最小值；（3）寫(xiě)出過(guò)斜率存在的直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，由判別式等于0求得值，再結(jié)合圖形求得直線(xiàn)與軌跡的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并分析對(duì)應(yīng)的斜率情況．

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，則

，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

（2）如圖，由圖可知，到軌跡上的點(diǎn)與的距離最小，則在拋物線(xiàn)上，

設(shè)，則．

當(dāng)，即時(shí)，的最小值為；

（3）設(shè)過(guò)與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為，即，

聯(lián)立，得．

由△，解得：或．

又,

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)或斜率存在為0時(shí)或直線(xiàn)的斜率，，時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)直線(xiàn)的斜率為或或，時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)直線(xiàn)的斜率，，時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)．