如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大�。�
（1）證明：∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，
且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB，
∴在矩形ABCD中，BC⊥側(cè)面PAB，
在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥側(cè)面PAB，
∴AD⊥側(cè)面PAB，
又AD?平面PAD，∴側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB．
（2）取AB中點(diǎn)O，取CD中點(diǎn)E，以O(shè)B為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，
∴P（0，0，
3
），C（1，3，0），D（-1，3，0），
∴
PC
=（1，3，-
3
），
PD
=(-1，3，-
3
），
設(shè)平面PCD的法向量
m
=（x，y，z），則
m
•
PC
=0，
m
•
PD
=0，
∴
x+3y-
3
z=0
-x+3y-
3
z=0
，解得
m
=（0，
3
，3），
∵平面CDA的法向量
n
=（0，0，1），
∴二面角P-CD-A的平面角的余弦值為|cos＜
m
，
n
＞|=|
3
12
|=
3
2
，
∴二面角P-CD-A的平面角為
π
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC1D1；
（2）求證：EF⊥B1C；
（3）求三棱錐VB1-EFC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC邊上取點(diǎn)E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAA1=60°，AA1=2AC，BC⊥平面AA1C1C．
（1）證明：A1C⊥AB；
（2）設(shè)BC=AC=2，求三棱錐C-A1BC1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（理）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2
19
，AB=8，BC=6，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上且AF：FD=1：2．建立適當(dāng)坐標(biāo)系．
（1）求EF的長；
（2）證明：EF⊥PC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC1⊥平面AB1C；
（2）求證：BC1∥平面A1CD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明；
（3）證明平面EFG⊥平面PAD，并求點(diǎn)D到平面EFG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，且PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．
（1）求證：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA1的中點(diǎn)，AA1=2AC=2BC=2a（a＞0）．
（1）證明：C1D⊥平面BDC；
（2）求三棱錐C-BC1D的體積．

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