Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對(duì)稱，且滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，又f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=

1

．

Answer 1

分析：首先由函數(shù)且滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，又f（-1）=1，f（0）=-2，可以分析得f（x）=f（x+3）即可求出f（2）和f（3）．又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對(duì)稱，又可推出f（-1）=f（1），綜合考慮幾個(gè)周期關(guān)系條件即可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，則f（x）=f（x+3）
又f（-1）=1，f（0）=-2，則f（-1）=f（-1+3）=f（2），又f（0）=f（0+3）=f（3）．
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對(duì)稱，
f（-1）=f（-

1

2

）=f（-

1

2

+

2

3

）=f（1）所以f（1）+f（2）+f（3）=0．
又f（1+3）=f（4），f（2+3）=f（5），f（3+3）=f（6）…又

2008

3

= 669+1．
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=f（1）=f（-1）=1
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的周期性問題，其中應(yīng)用到函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)周期性這個(gè)考點(diǎn)考查的時(shí)候多和奇偶性，對(duì)稱性問題綜合考慮，技巧性較強(qiáng)．