【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2) 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若.

①求的值;

②求的面積的最小值.

【答案】(1);(2),②.

【解析】

(1)利用橢圓的離心率公式,通徑的長和橢圓中a,b,c的關(guān)系,求得a,b,c的值,進(jìn)而可得橢圓的方程.

(2)①通過聯(lián)立直線和橢圓方程,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求出,再結(jié)合向量表示垂直得,進(jìn)而求解;

②設(shè)直線OA的斜率為.分兩種情況討論,當(dāng)時(shí),通過聯(lián)立直線與橢圓方程和三角形面積公式,將面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解,再結(jié)合時(shí)的情況,得面積的取值范圍,進(jìn)而求得最小值.

(1) 已知橢圓的離心率為,可知 ,

根據(jù)橢圓的通徑長為 ,結(jié)合橢圓中 ,

可解得

故橢圓C的方程為 .

(2)①已知直線AB的方程為 , 設(shè)

與橢圓方程聯(lián)立有,消去y,得 ,

所以 ,

,所以 ,即 ,

所以 .整理得 ,

所以

設(shè)直線OA的斜率為.當(dāng)時(shí),則的方程OA為,OB的方程為 ,聯(lián)立,同理可求得 ,

故△AOB的面積為 .

,則

,所以 .

所以 ,當(dāng)時(shí),可求得S=1,故,故S的最小值為

練習(xí)冊系列答案
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A.[﹣ ]
B.[﹣ ]
C.(﹣ ]
D.(﹣ ]∪[

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A.[2,4]
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C.[ ,4]
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【題目】已知函數(shù),,若方程有四個(gè)不同的解,則的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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