Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，a₁=1，且當(dāng)n≥2時(shí)S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）
（1）證明數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，
（2）令b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），kd S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$），變形為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系可得a_n．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$），
變形為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之和為T(mén)_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．