Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+-1(a∈R），
(Ⅰ)當a≤時，討論f(x)的單調(diào)性；
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x²-2bx+4，當a=時，若對任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈[1，2]，使f(x₁)≥g(x₂)，求實數(shù)b的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)因為，
所以，
令h(x)=ax²-x+1-a，x∈(0，+∞)，
①當a=0時，h(x)=-x+1，x∈(0，+∞)，
所以當x∈(0，1)時，h(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
當x∈(1，+∞)時，h(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
②當a≠0時，由f′(x)=0，即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，，
(ⅰ)當時，x₁=x₂，h(x)≥0恒成立，此時f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；
(ⅱ)當時，，x∈(0，1)時，h(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
時，h(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
時，h(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
(ⅲ)當a＜0時，由于時，h(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
x∈(1，+∞)時，h(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；
(Ⅱ)因為，由(Ⅰ)知，x₁=1，x₂=3(0，2)，
當x∈(0，1)時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
當x∈(1，2)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，2)上的最小值為，
由于“對任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈[1，2]，使f(x₁)≥g(x₂)” 等價于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值”，
又g(x)=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，
所以(ⅰ)當b＜1時，因為[g(x)]_min=g(1)=5-2b＞0，此時與(*)矛盾；
(ⅱ)當b∈[1，2]時，因為[g(x)]_min=4-b²≥0，同樣與(*)矛盾；
③當b∈(2，+∞)時，因為[g(x)]_min=g(2)=8-4b，
解不等式，可得；
綜上，b的取值范圍是。