Question

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓方程為。

（2）在x軸上存在點(diǎn)M（）， 使是與K無關(guān)的常數(shù).

【解析】

試題分析：（1）∵橢圓離心率為，

∴，∴.        1分

又橢圓過點(diǎn)（，1），代入橢圓方程，得.        2分

所以.                          4分

∴橢圓方程為，即.           5分

（2）在x軸上存在點(diǎn)M，使是與K無關(guān)的常數(shù).   6分

證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m,0）,使是與k無關(guān)的常數(shù)，

∵直線L過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為K,∴L方程為，

由 得.      7分

設(shè)，則      8分

∵

∴              9分

=

=

=

=                 10分

設(shè)常數(shù)為t，則.                11分

整理得對(duì)任意的k恒成立，

解得，                    12分

即在x軸上存在點(diǎn)M（）， 使是與K無關(guān)的常數(shù).       13分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，建立了a,bac的方程組。（2）作為研究，應(yīng)用韋達(dá)定理，建立了m的函數(shù)式，利用函數(shù)觀點(diǎn)，求得m的值，肯定存在性，使問題得解。