Question

【題目】正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足an=2 ﹣1．若對(duì)任意的正整數(shù)p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an=2 ﹣1，∴Sn= ，

∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵n∈N*，an＞0，

∴an﹣an﹣1=2．

n=1時(shí)，a1=S1= ，解得a1=1．

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．

∴Sn=n+ =n2．

∴不等式SP+Sq＞kSp+q化為：k＜ ，

∵ ＞ ，對(duì)任意的正整數(shù)p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，

∴ ．

則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ．

所以答案是： ．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．