【題目】如圖,已知拋物線,設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn),拋物線在、兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn),直線,分別與軸交于、兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程
(2)當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí),記的面積為,的面積為,求的最小值.
【答案】(1)(2)4
【解析】
(1)首先設(shè)出,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線,的方程,聯(lián)立得到交點(diǎn)的坐標(biāo).再設(shè)出直線的方程為,代入拋物線,利用根系關(guān)系即可得到點(diǎn)的軌跡方程.
(2)首先根據(jù)切線,的方程得到,,從而得到,.利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到,從而得到.令,得到,再利用基本不等式即可得到的最值.
(1)因?yàn)閽佄锞,所以,.
設(shè),,,.
則切線,的方程分別為和.
聯(lián)立解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為:,.
設(shè)直線的方程為,代入,
整理得:,
所以,,且.
所以,,于是,
故點(diǎn)的軌跡方程為.
(2)因?yàn)榍芯的方程為,
令得到,同理:.
所以.
又,故.
由(1)可知,
又點(diǎn)到直線的距離為,
所以.
所以.
令,,則.
①當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.
所以;
②當(dāng)時(shí),
,,,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.
所以;
綜上所述:的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,,
(1)求在處的切線的一般式方程;
(2)請(qǐng)判斷與的圖像有幾個(gè)交點(diǎn)?
(3)設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn),為與的圖像一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種:甲,一年期短險(xiǎn);乙,兩全保險(xiǎn);丙,理財(cái)類保險(xiǎn);丁,定期壽險(xiǎn):戊,重大疾病保險(xiǎn),各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠.該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查,得出如下的統(tǒng)計(jì)圖例,以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是( )
A.54周歲以上參保人數(shù)最少B.18~29周歲人群參?傎M(fèi)用最少
C.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞D.30周歲以上的人群約占參保人群的80%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了積極穩(wěn)妥疫情期間的復(fù)學(xué)工作,市教育局抽調(diào)5名機(jī)關(guān)工作人員去某街道3所不同的學(xué)校開展駐點(diǎn)服務(wù),每個(gè)學(xué)校至少去1人,若甲、乙兩人不能去同一所學(xué)校,則不同的分配方法種數(shù)為___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲,已知骰子每面朝上的概率都是,棋盤上標(biāo)有第0站,第1站,第2站,……,第100站.一枚棋子開始在第0站,選手每擲一次骰子,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2,棋子向前跳兩站;若擲出其余點(diǎn)數(shù),則棋子向前跳一站,直到跳到第99站或第100站時(shí),游戲結(jié)束;設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.
(1)當(dāng)游戲開始時(shí),若拋擲均勻骰子3次后,求棋子所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)證明:;
(3)若最終棋子落在第99站,則記選手落敗,若最終棋子落在第100站,則記選手獲勝,請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(Ⅱ)求曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)存在極小值時(shí),設(shè)極小值點(diǎn)為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)滿足,若的最大值為,最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知線段是過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的一條弦,過(guò)點(diǎn)A(A在第一象限內(nèi))作直線垂直于拋物線的準(zhǔn)線,垂足為C,直線與拋物線相切于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)T,給出下列命題:
(1);
(2);
(3).
其中正確的命題個(gè)數(shù)為( )
A.B.C.D.
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