Question

【題目】已知函數的最小正周期為，且圖象關于直線對稱．

（1）求的解析式；

（2） 若函數的圖象與直線在上只有一個交點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

分析：(1)根據二倍角公式以及配角公式將函數化為基本三角函數，再根據正弦函數性質確定的解析式；(2)先化簡，再同一坐標系中作出y＝sin和y＝a的圖象，根據圖像確定實數的取值范圍．

詳解：(1) f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－ (1＋cos2ωx)＋＝sin＋1.∵ 函數f(x)的最小正周期為π，∴ ＝π，即ω＝±1，

∴ f(x)＝sin＋1.

① 當ω＝1時，f(x)＝sin＋1，∴ f＝sin＋1不是函數的最大值或最小值，

∴ 其圖象不關于x＝對稱，舍去．

② 當ω＝－1時，f(x)＝－sin＋1，

∴ f＝－sin＋1＝0是最小值，

∴ 其圖象關于x＝對稱．

故f(x)的解析式為f(x)＝1－sin.

(2) y＝1－f(x)＝sin，在同一坐標系中作出y＝sin和y＝a的圖象：

由圖可知，直線y＝a在a∈或a＝1時，兩曲線只有一個交點，∴ a∈或a＝1.