Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足： + +…+ = （n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=anan+1 ， Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的正整數(shù)n，Sn＞2λ﹣ 恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，當(dāng)n=1時(shí)， ，則a1=2，

當(dāng)n≥2時(shí)， ，

則 ，

兩式相減得， = ，即an= ，

當(dāng)n=1時(shí)，也符合上式，則an=

（2）解：由（1）得，bn=anan+1=

= =2（ ），

所以Sn=2[（1﹣ ）+（ ）+（ ）…+（ ）]

=2（1﹣ ），

則n越大， 越小，Sn越大，

即當(dāng)n=1時(shí)，Sn最小為S1= ，

因?yàn)閷?duì)于任意的正整數(shù)n，Sn＞2λ﹣ 恒成立，

所以 ＞2λ﹣ ，解得 ，

故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（﹣∞， ）

【解析】（1）由題意和數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系式，求出 ，即可求出an；（2）把a(bǔ)n代入bn=anan+1化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出Sn，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求出Sn的最小值，由恒成立的條件列出不等式，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．