Question

12．（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展開式的第3項小于第4項，則x的取值范圍是0＜x＜1．

Answer 1

分析 求出展開式的第3項、第4項，利用（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展開式的第3項小于第4項，求出x的取值范圍．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵展開式中，第3項${C}_{5}^{2}•（\sqrt{x}）^{3}•（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{2}$=10${x}^{\frac{5}{6}}$，第4項${C}_{5}^{3}•（\sqrt{x}）^{2}•（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{3}$=10，
因為（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展開式的第3項小于第4項，
所以10${x}^{\frac{5}{6}}$＜10，
解得x＜1，
因為x＞0，
所以x的取值范圍是0＜x＜1．
故答案為：0＜x＜1．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的解法，考查計算能力．