Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x+a|x-1|．
（Ⅰ）當a=3時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≥0對一切實數(shù)x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=3時，求出函數(shù)f（x）的表達式，和導數(shù)f′（x），判斷函數(shù)的單調性和最值即可求出函數(shù)的值域．
（Ⅱ）將不等式恒成立，進行轉化，構造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=e^x+3|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+3-3x，}&{0≤x＜1}\\{{e}^{x}+3x-3，}&{1≤x≤2}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的導數(shù)，當0＜x＜1時，f′（x）=e^x-3＜0，此時函數(shù)單調遞減，
當1＜x＜2時，f′（x）=e^x+3＞0，此時函數(shù)單調遞增，
∴函數(shù)的最小值為f（1）=e，
又f（0）=4，f（2）=e²+3，
則函數(shù)在[0，2]上的最大值為e²+3，
即函數(shù)的值域為[e，e²+3]．
（Ⅱ）當x=1時，f（1）=e＞0，對一切x≥0都恒成立，∴此時a為任意實數(shù)．
當x≠1時，f（x）≥0等價為e^x+a|x-1|≥0，
即a≥$\frac{-{e}^{x}}{|x-1|}$，設g（x）=$\frac{-{e}^{x}}{|x-1|}$，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{e}^{x}}{1-x}}&{x＞1}\\{\frac{{e}^{x}}{x-1}}&{0≤x＜1}\end{array}\right.$，
g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{e}^{x}（2-x）}{（1-x）^{2}}}&{x＞1}\\{\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$
即g（x）在[0，1）上單調遞減，則（1，2]上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減，
∴g（x）的極大值為g（2）=-e²，
∴a≥-e²，且a≥g（0）=-1，
綜上a≥-1．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調性和最值是解決本題的關鍵．