Question

過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）外一點A（m，0）作一直線l交橢圓于P、Q兩點，又Q關于x軸對稱點為Q₁，連結PQ₁交x軸于點B．
（1）若

AP

=λ

AQ

，求證：

PB

=λ

BQ1

；
（2）求證：點B為一定點（

a2

m

，0）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設直線l過A（m，0）與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得Q的坐標，由

AP

=λ

AQ

，即可證明

PB

=λ

BQ1

；
（2）先確定mxB=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

，再得出x12-λ2x22=a²（1-λ²），即可證明點B為一定點（

a2

m

，0）．

解答： 證明：（1）設直線l過A（m，0）與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
而Q₁與Q關于x軸對稱，則Q₁（x₂，-y₂），
由

AP

=λ

AQ

，則y₁-0=λ（y₂-0），
∴0-y₁=λ（0-y₂），
∴

PB

=λ

BQ1

．  …（6分）
（2）由

AP

=λ

AQ

，則m=

x1-λx2

1-λ

  …①
由

PB

=λ

BQ1

，則xB=

x1+λx2

1+λ

  …②
由①×②得 mxB=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

   …③
又

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1  …④

x22

a2

+

y22

b2

=1 …⑤
∵y₁=λy₂，由④-⑤•λ²得x12-λ2x22=a²（1-λ²），…⑥
由③⑥可知mx_B=a²．
∴x_B=

a2

m

．
∴點B為一定點（

a2

m

，0）．                         …（13分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．