Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c,直線l₁:x=2,直線l₂:y= -t²+8t(其中0≤t≤2,t為常數).若直線l₁,l₂與函數f(x)的圖象以及l(fā)₂,y軸與函數f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示.

(1)求a,b,c的值;

(2)求陰影面積S關于t的函數S(t)的解析式.

Answer 1

解:(1)由題圖可知二次函數的圖象過點(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16,

則解得

(2)由(1)得f(x)=-x²+8x,

由

得x²-8x-t(t-8)=0,所以x₁=t,x₂=8-t.

因為0≤t≤2,

所以直線l₂與f(x)的圖象的交點坐標為(t,-t²+8t).

由定積分的幾何意義知

S(t)=[(-t²+8t)-(-x²+8x)]dx+

[(-x²+8x)-(-t²+8t)]dx

=[(-t²+8t)x-(-+4x²)]+

[(-+4x²)-(-t²+8t)x]

=-t³+10t²-16t+.

所以S(t)=-t³+10t²-16t+(0≤t≤2).