Question

已知點P（a，b），a，b滿足a²+b²≤1，則關于x的二次方程4x²+4bx+3a²=0有實數(shù)根的概率為（　�。�

• A、

  1

  6

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  5

  6

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：由題意，以a為橫坐標、b為縱坐標建立直角坐標系，可得滿足a²+b²≤1的點（a，b）在單位圓及其內(nèi)部，如圖所示．若關于x的方程4x²+4x+3a²=0有實數(shù)根，則點（a，b）滿足a+b≤1，即在單位圓內(nèi)且直線a+b=1的下方．由此結合幾何概型計算公式，用圖中黃色陰影部分的面積除以單位圓的面積，即可得到所求的概率．

解答： 解：∵實數(shù)a，b滿足a²+b²≤1
∴以a為橫坐標、b為縱坐標建立直角坐標系，
可得所有的點（a，b）在以O為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，
即單位圓及其內(nèi)部，如圖所示

若關于x的方程4x²+4bx+3a²=0有實數(shù)根，
則滿足△=16b²-4×4×3a²≥0，解之得3a²≤b²，3a≤±b，
符合上式的點（a，b）在圓內(nèi)并且在如圖的陰影部分，
其面積為S₁=

1

3

π，
又∵單位圓的面積為S=π×1²=π
∴關于x的方程x²-2x+a+b=0無實數(shù)根的概率為P=

1

3

；
故選B．

點評：本題給出a、b滿足的關系式，求關于x的方程有實數(shù)根的概率，著重考查了一元二次方程根的判別式和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．