Question

已知拋物線D：y²=4x的焦點與橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂重合，且點P（

2

，

6

2

）在橢圓Q上．
（Ⅰ）求橢圓Q的方程及其離心率；
（Ⅱ）若傾斜角為45°的直線l過橢圓Q的左焦點F₁，且與橢圓相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

a2-b2=1 2 a2 + 3 2b2 =1

，由此能求出橢圓Q的方程和離心率．
（Ⅱ）直線l的方程y=x+1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，由此能求出△ABF₂的面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線D：y²=4x的焦點與橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂重合，
y²=4x的焦點為（1，0），
∴橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂（1，0），（1分）
又點P（

2

，

6

2

）在橢圓Q上，
∴

a2-b2=1 2 a2 + 3 2b2 =1

，解得a²=4，b²=3，（3分）
∴橢圓Q的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（4分）
∴離心率e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），
∴直線l的方程為y-0=tan45°（x+1），（6分）
即y=x+1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，
消y整理，得7x²+8x-8=0，（8分）
∴x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

24

7

又點F₂到直線l的距離 d=

|1+1|

1+(-1)2

=

2

（10分）
∴S△ABF1=

1

2

|AB|d=

1

2

•

24

7

•

2

=

12 2

7

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程及離心率的求法，考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．