Question

選修4-5：不等式選講
證明：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+…+

1

1×2×3×…×n

＜2（n＞2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：利用 n＞2，n∈N^*時，

1

1×2×3××n

＜

1

2n-1

，把不等式的左邊從第三項開始，每項都放大為

1

2n-1

，
再利用等比數(shù)列的求和公式運算，結(jié)果為2-

1

2n-1

，顯然小于2成立．

解答：證明：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+…+

1

1×2×3××n

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2×[1-(

1

2

)n]=2-

1

2n-1

＜2．
故要證的不等式成立．

點評：本題考查不等式的放縮，等比數(shù)列的求和公式，不等式的放縮是解題的難點．