Question

對于每個自然數(shù)n，一元二次函數(shù)y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸交于A_n，B_n兩點，以|A_nB_n|表示該兩點間的距離，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|的值是（　　）

• A．

  2013

  2014

• B．

  2015

  2014

• C．

  2014

  2015

• D．

  2014

  2013

Answer 1

分析：先確定A_n，B_n的坐標，代入兩點間的距離公式可得到|A_nB_n|的關系式，然后代入，利用疊加法，即可求得結論．

解答：解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴由y=0得x=

1

n

或x=

1

n+1

∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（

1

n

，0），
∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

故選C．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學生分析問題與轉化求解的能力，屬于中檔題．