Question

（2013•濟寧二模）如圖：C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2

3

，AC=BC，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD內(nèi)的射影E落在BD上．
（I）求證：平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面ACD⊥平面BCD，只要證平面ACD經(jīng)過平面BCD的一條垂線AD即可，由D是以AB為直徑的圓上的點得到AD⊥DB，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用線面垂直的判定得到證明；
（Ⅱ）要求三棱錐C-ABD的體積，關(guān)鍵在于求高CE，通過證明三角形DCB為直角三角形，然后利用三角形BCD的面積相等求CE，則三棱錐C-ABD的體積可求．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
∵D是以AB為直徑的圓上的點，∴AD⊥DB．
∵CE⊥平面ABD，AD?平面ABD，
∴AD⊥CE．
又∵CE∩BD=E，BD?平面BCD，
∴AD⊥平面BCD．
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AD⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AD⊥CD．
∵C是以AB為直徑的圓上的點，∴AC⊥CB，又AC=BC，∴△ACB為等腰直角三角形．
∵AB=2

3

，∴AC=BC=

6

．
在Rt△ADC中，AD=

3

，AC=

6

，∴CD=

AC2-AD2

=

6-3

=

3

．
在Rt△ADB中，AD=

3

，AB=2

3

，∴BD=

AB2-AD2

=

12-3

=3．
∴CD²+BC²=BD²，∴BC⊥CD．
在Rt△BCD中，BD⊥CE，CE=

BC•CD

BD

=

6 • 3

3

=

2

．
∴VC-ABD=

1

3

•

1

2

AD•BD•CE=

1

3

•

1

2

•

3

•3•

2

=

6

2

．
∴三棱錐C-ABD的體積為

6

2

．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了棱錐體積的求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關(guān)鍵是明確折疊問題中的折疊前后的變量和不變量，是中檔題．