Question

過雙曲線x2-

y2

2

=1的右焦點作直線交雙曲線于A，B兩點，且|AB|=4，則這樣的直線有

 

條．

Answer 1

分析：右焦點為（

3

，0），當(dāng)AB的斜率不存在時，經(jīng)檢驗滿足條件，當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為y-0=k
（x-

3

），代入雙曲線化簡，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂的值，由|AB|=4=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，
解得k=±1，得到滿足條件的斜率存在的直線有兩條，故總共有3條．

解答：解：右焦點為（

3

，0），當(dāng)AB的斜率不存在時，直線AB方程為 x=

3

，
代入雙曲線x2-

y2

2

=1的方程可得y=±2，即A，B兩點的縱坐標(biāo)分別為2 和-2，滿足|AB|=4．
當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為 y-0=k（x-

3

），代入雙曲線x2-

y2

2

=1的方程化簡可得
（2-k²） x²-2

3

 k² x+3k²-2=0，∴x₁+x₂=

2 3  k2

2-k2

，x₁•x₂=

3k2-2

2-k2

，
∴|AB|=4=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，平方化簡可得 （3k⁴+6）（k²-1）=0，
∴k=±1，都能滿足判別式△=12-4（2-k²）（3k²-2）＞0．
所以，滿足條件的且斜率存在的直線有2條．
綜上，所有滿足條件的直線共有3條，
故答案為 3．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出滿足條件的直線的斜率，是解題的關(guān)鍵和難點．