Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=3a_n-4n+3．
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）設(shè)b_n=a_n+2，證明{b_n}成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）在已知數(shù)列遞推式中，換n為n+1得另一遞推式，作差后可用a_n表示a_n+1；
（2）把（1）中得到的a_n與a_n+1的關(guān)系變形為b_n+1=3b_n，然后求出首項，即可證明{b_n}成等比數(shù)列．

解答 （1）解：∵2S_n=3a_n-4n+3，∴2S_n+1=3a_n+1-4（n+1）+3，
兩式作差得：a_n+1=3a_n+4；
（2）證明：由a_n+1=3a_n+4，得a_n+1+2=3（a_n+2），
即b_n+1=3b_n，
由2S_n=3a_n-4n+3，得2a₁=3a₁-4+3，即a₁=1．
又b₁=a₁+2=3≠0．
∴{b_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．